Question

在矩形ABCG中，點D是AG的中點，點E是AB上一點，DE⊥DC，CE交BD于F，
（1）求證：ED平分∠AEC；
（2）當(dāng)∠BEC=60°，且AE=1時，求矩形ABCG的面積；
（3）當(dāng)BE=BC，求證：BD平分∠CDE．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長ED交CG延長線于點H，證明△AED≌△GDH，得到ED=DH，即可證明△CED≌△CHD，即∠ECD=∠DCG，即可得到ED平分∠AEC；
（2）由∠BEC=60°，且AE=1時，結(jié)合（1）可以求得AD的長度，由AD=DC，可以求得AC的長度，由AC=BC，繼而求得BE的長度，據(jù)此可以求得四邊形ABCD的面積．
（3）利用四邊形BCDE是圓的內(nèi)接四邊形得出BD平分∠CDE．

解答：解：（1）延長ED交CG延長線于點H，
∵AB∥CG，∴∠AED=∠DHG，
在△ADE和△DGH中

∠AED=∠DHG ∠A=∠DCH DA=DG

，
∴△ADE≌△DGH．
∴DE=DH，
又∵DE⊥DC，∴∠CDE=∠CDH=90°，
在△CDE和△CDH中

CD=CD ∠CDE=∠CDH DE=DH

∴△CDE≌△CDH，∠CED=∠CHD，
∴∠CED=∠CHD，
∴ED平分∠AEC；

（2）∵∠BEC=60°，ED平分∠AEC；
∴∠CED=∠AED=60°，
∵AE=1，∴tan∠AED=

AE

AD

=

3

3

，
AD=

3

，
又∵AD=DG
∴AG=BC=2

3

，
∴BE=2，
∴AB=3
∴S四邊形ABCD=BC•AB=2

3

×3=6

3

．
（3）∵四邊形ABCG是矩形，DE⊥DC，
∴∠EBD+∠EDC=90°+90°=180°，
∠BED+∠EDC=180°，
∴BCDE是圓的內(nèi)接四邊形，
又∵BE=BC，
∴∠EDB=∠CDB，
∴BD平分∠CDE．

點評：本題主要考查矩形的性質(zhì)及相似三角形的知識，也可運用圓的內(nèi)接四邊形求解．解答本題的關(guān)鍵要學(xué)會用輔助線構(gòu)造全等三角形．