Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2﹣x﹣3與x軸的交點(diǎn)為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C．

（1）直接寫(xiě)出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M在拋物線上，使得△MAD的面積與△CAD的面積相等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使以A,D,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊行？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；（2）M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）或（1＋，3）或（1，3）；(3) Q（1，-）或Q (7, )或Q (-5, )

【解析】

（1）令y＝0，解方程x2﹣x﹣3＝0可得到A點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)；令x＝0，求出y＝3，可確定C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，可知在在x軸下方對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)也存在這樣的一個(gè)點(diǎn)；再根據(jù)三角形的等面積法，在x軸上方，存在兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)分別到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離；

（2）分AD是平行四邊形的邊和對(duì)角線分別作圖，根據(jù)圖形的特點(diǎn)即可求解．

（1）∵y＝x2﹣x﹣3，

∴當(dāng)y＝0時(shí)，

x2﹣x﹣3＝0，

解得x1＝2，x2＝4．

當(dāng)x＝0，y＝3．

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；

（2）∵y＝x2﹣x﹣3

∴對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝．

∵AD在x軸上，點(diǎn)M在拋物線上，

∴當(dāng)△MAD的面積與△CAD的面積相等時(shí)，分兩種情況：

①點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，可知點(diǎn)M與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，

∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）；

②點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，根據(jù)三角形的等面積法，可知M點(diǎn)到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離3．

當(dāng)y＝3時(shí)，x2﹣x﹣3＝3，

解得x1＝1＋，x2＝1，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1＋，3）或（1，3）．

綜上所述，所求M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）或（1＋，3）或（1，3）；

(3)如圖，當(dāng)AD是平行四邊形的一邊時(shí)，

設(shè)Q(x, x2﹣x﹣3)，則P（1，x2﹣x﹣3）

由AD==4-(-2)=6，得

解得x=7或x=-5

故Q (7, )，P（1，）或Q (-5, )，P（1，）

如圖，當(dāng)AD是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)PQ,AD交于H點(diǎn)，

則P,Q在對(duì)稱(chēng)軸x=1上，

∵x=1時(shí)，y=x2﹣x﹣3=-

∴HQ=PH=

故Q（1，-），P（1，）

綜上，存在Q（1，-）或Q (7, )或Q (-5, )，使得以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．