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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,二次函數的圖象與坐標軸交于A、B、C三點,其中點A的坐標為(0,8),點B的坐標為(﹣4,0)

(1)求該二次函數的表達式及點C的坐標;

(2)點D的坐標為(0,4),點F為該二次函數在第一象限內圖象上的動點,連接CD、CF,以CD、CF為鄰邊作平行四邊形CDEF,設平行四邊形CDEF的面積為S

①求S的最大值;

②在點F的運動過程中,當點E落在該二次函數圖象上時,請直接寫出此時S的值

【答案】(1),C(8,0);(2)50;18

【解析】

試題分析:(1)把A點和B點坐標代入得到關于b、c的方程組,然后解方程組求出b、c即可得到拋物線的解析式;然后計算函數值為0時對應的自變量的值即可得到C點坐標

(2)①連結OF,如圖,設F(t,),利用S四邊形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF,利用三角形面積公式得到S△CDF=,再利用二次函數的性質得到△CDF的面積有最大值,然后根據平行四邊形的性質可得S的最大值;

②由于四邊形CDEF為平行四邊形,則CD∥EF,CD=EF,利用C點和D的坐標特征可判斷點C向左平移8個單位,再向上平移4個單位得到點D,則點F向左平移8個單位,再向上平移4個單位得到點E,即E(t﹣8,),然后把E(t﹣8,)代入拋物線解析式得到關于t的方程,再解方程求出t后計算△CDF的面積,從而得到S的值.

試題解析:(1)把A(0,8),B(﹣4,0)代入,,解得,所以拋物線的解析式為;

當y=0時,,解得,,所以C點坐標為(8,0);

(2)①連結OF,如圖,設F(t,),∵S四邊形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF,∴S△CDF=S△ODF+S△OCF﹣S△OCD===;

當t=3時,△CDF的面積有最大值,最大值為25,∵四邊形CDEF為平行四邊形,∴S的最大值為50;

②∵四邊形CDEF為平行四邊形,∴CD∥EF,CD=EF,∵點C向左平移8個單位,再向上平移4個單位得到點D,∴點F向左平移8個單位,再向上平移4個單位得到點E,即E(t﹣8,),∵E(t﹣8,)在拋物線上,∴ ,解得t=7,當t=7時,S△CDF==9,∴此時S=2S△CDF=18.

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