Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-3，0），B（-1，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點為M，直線y=-2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上．若平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標(biāo)的值或取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式；
（2）由（1）的解析式求出拋物線的頂點坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)求出直線OD的解析式，設(shè)平移后的拋物線的頂點坐標(biāo)為（h，

1

2

h），就可以表示出平移后的解析式，當(dāng)拋物線經(jīng)過點C時就可以求出h值，拋物線與直線CD只有一個公共點時可以得出

y=(x-h)2+ 1 2 h y=-2x+9

，得x²+（-2h+2）x+h²+

1

2

h-9=0，從而得出△=（-2h+2）²-4（h²+

1

2

h-9）=0求出h=4，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）拋物線解析式y(tǒng)=ax²+bx+3經(jīng)過A（-3，0），B（-1，0）兩點，
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得

a=1 b=4

，
∴拋物線的解析式為y=x²+4x+3．

（2）由（1）配方得y=（x+2）²-1，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為M（-2，-1），
∴直線OD的解析式為y=

1

2

x，
于是可設(shè)平移后的拋物線的頂點坐標(biāo)為（h，

1

2

h），
∴平移后的拋物線的解析式為y=（x-h）²+

1

2

h，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點C時，∵C（0，9），
∴h²+

1

2

h=9．
解得h=

-1± 145

4

，
∴當(dāng)

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

時，平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點；
當(dāng)拋物線與直線CD只有一個公共點時，
由方程組

y=(x-h)2+ 1 2 h y=-2x+9

，
得x²+（-2h+2）x+h²+

1

2

h-9=0，
∴△=（-2h+2）²-4（h²+

1

2

h-9）=0，
解得h=4，
此時拋物線y=（x-4）²+2與直線CD唯一的公共點為（3，3），點（3，3）在射線CD上，符合題意．
故平移后拋物線與射線CD只有一個公共點時，頂點橫坐標(biāo)的取值范圍是

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

或h=4．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換及方程組與交點坐標(biāo)的運用，利用根的判別式判斷得出是解題關(guān)鍵．