Question

17．如圖，已知點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交直線AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為CH的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F，直線CF交AB的延長(zhǎng)線于G．
（1）求證：FC=FB；
（2）求證：CG是⊙O的切線；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OC，BC，證△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出CF=DF=BF即可．
（2）只要證明∠FCB=∠CAB即可推出CG是⊙O切線．
（2）由EF=FC，推出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，由切割線定理得出（2+FG）²=BG×AG=2BG²，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG²=FG²-BF²，推出FG²-4FG-12=0，求出FG即可，再在RT△ABF中利用勾股定理即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：連接OC，BC，
∵CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，
∴$\frac{CE}{DF}$=$\frac{AE}{AF}$，$\frac{AE}{AF}$=$\frac{EH}{FB}$，
∴$\frac{CE}{DF}$=$\frac{EH}{FB}$，
∵CE=EH（E為CH中點(diǎn)），
∴BF=DF，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠DCB=90°，
∵BF=DF，
∴CF=DF=BF（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
即CF=BF．
（2）證明∵BF切⊙O于B，
∴∠FBC=∠CAB，
∵OC=OA，CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC，
∴∠FCB=∠CAB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠FCB+∠BCO=90°，
即OC⊥CG，
∴CG是⊙O切線，
（3）解：：∵BF=CF=DF（已證），EF=BF=2，
∴EF=FC，
∴∠FCE=∠FEC，
∵∠AHE=∠CHG=90°，
∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°，
∵∠AEH=∠CEF，
∴∠G=∠FAG，
∴AF=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG，
∵GBA是⊙O割線，AB=BG，F(xiàn)B=FE=2，
∴由切割線定理得：（2+FG）²=BG×AG=2BG²，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG²=FG²-BF²，
∴FG²-4FG-12=0，
解得：FG=6，F(xiàn)G=-2（舍去），
由勾股定理得：
AB=BG=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴⊙O的半徑是2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度