Question

8．如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BE，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6$\sqrt{3}$，AF=4$\sqrt{3}$，求tan∠DEC．

Answer 1

分析 （1）易證∠ADF=∠CED和∠AFD=DCE，即可證明△ADF∽△DEC．
（2）根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等可求得CD的長(zhǎng)，根據(jù)△ADF∽△DEC可得$\frac{AF}{CD}$=$\frac{AD}{DE}$，即可求得DE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可以求得AE的長(zhǎng)，根據(jù)tan∠DEC=tan∠ADE=$\frac{AE}{AD}$即可解題．

解答 （1）證明：∵平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠DCE=180°，∠ADF=∠CED，
∵∠B=∠AFE，∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠AFD=∠DCE，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD=AB，AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∵△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AF}{CD}$=$\frac{AD}{DE}$，即$\frac{4\sqrt{3}}{8}$=$\frac{6\sqrt{3}}{DE}$，
∴DE=12，
∵在RT△ADE中，AE²=DE²-AD²，
∴AE=6，
∴tan∠DEC=tan∠ADE=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{6}{6\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明△ADF∽△DEC，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考�？碱}型．