Question

8．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，x軸上依次有點(diǎn)A₁（2，0），A₂（4，0），A₃（6，0），…，拋物線l₁：y=x²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)及A₁，頂點(diǎn)為B₁；拋物線l₂經(jīng)過B₁和A₁，且形狀與拋物線l₁的形狀相同，開口方向相反；拋物線l₃經(jīng)過A₁和A₂，且形狀與拋物線l₂的形狀相同，開口方向相反，頂點(diǎn)為B₂：拋物線l₄經(jīng)過B₂和A₂，且形狀與拋物線l₃的形狀相同，開口方向相反：拋物線l₅經(jīng)過A₂和A₃，且形狀與拋物線l₄的形狀相同，開口方向相反，頂點(diǎn)為B₃：依此類推…
（1）直接寫出B₁的坐標(biāo)；
（2）求出拋物線l₂的函數(shù)解析式．
（3）根據(jù)你探索的規(guī)律，寫出拋物線l_n的函數(shù)解析式；
（4）如果將這些拋物線的頂點(diǎn)順次連接起來，那么每兩條相鄰的線段存在什么樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把（0，0），A₁（2，0）代入拋物線l₁：y=x²+bx+c，求出b，c的值，進(jìn)而可得出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線l₂的解析式為y=-x²+bx+c，再把A₁（2，0），B₁（1，-1）代入求出其解析式即可；
（3）同（2）得出拋物線線l₃，l₄的解析式，找出規(guī)律即可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)各拋物線的解析式得出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)各坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；

解答 解：（1）∵拋物線l₁：y=x²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)及A₁（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ 4+2b+c=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ b=-2\end{array}\right.$，
∴拋物線l₁的解析式為y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴B₁（1，-1）；
（2）∵拋物線l₂經(jīng)過B₁和A₁，且形狀與拋物線l₁的形狀相同，
∴設(shè)拋物線l₂的解析式為y=-x²+bx+c．
∵A₁（2，0），B₁（1，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}-4+2b+c=0\\-1+b+c=-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=4\\ c=-4\end{array}\right.$，
∴拋物線l₂的解析式為：y=-x²+4x-4；
（3）∵同（2）可得，拋物線l₃的解析式為y=x²-6x+8；拋物線l₄的解析式為y=-x²+8x-16，
∴拋物線l_n的解析式為y=（-1）ⁿ⁺¹x²+（-1）ⁿ•2nx+（-1）ⁿ⁺¹•2ⁿ（n≥2）；
（4）∵拋物線l₁的解析式為y=x²-2x，拋物線l₂的解析式為：y=-x²+4x-4，拋物線l₃的解析式為y=x²-6x+8；拋物線l₄的解析式為y=-x²+8x-16，…，
∴這些拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），（2，0），（3，-1），（4，0），…，
∴這些相鄰的線段長度相等，且互相垂直．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及規(guī)律中的圖形的變化類，解題的關(guān)鍵：利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式以及根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)判斷其位置關(guān)系．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．