Question

4．已知，如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，AF，BC，CH，DE分別相交于點(diǎn)M，N，P，Q．求證：四邊形MNPQ是正方形．

Answer 1

分析 先證明三角形全等，得出對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)角的互余關(guān)系得出四邊形MNPQ的三個(gè)角是直角，則四邊形是矩形，然后證明三角形全等得出一組鄰邊相等，可以證得四邊形是正方形．

解答 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∵E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，
∴AE=BE=BF=CF=CG=DG=DH=AH，
在△ABF和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠BCD}\\{BF=CG}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△BCG（SAS）
∴∠BAF=∠GBC，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠GBC+∠AFB=90°，
∴∠BNF=90°，
∴∠MNP=90°．
同理：∠NPQ=∠PQM=90°，
∴四邊形MNPQ是矩形．
在△ABN和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠GBC}\\{∠ANB=∠BPC=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△BCP（AAS），
∴AN=BP，
在△AME和△BNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠GBC}\\{∠AMF=∠BNF=90°}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△BNF（AAS），
∴AM=BN，
∴MN=NP，
∴四邊形MNPQ是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、矩形的判定；證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．