Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交x軸于A（-1，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，-2），過點(diǎn)A、C畫直線．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）根據(jù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)出二次函數(shù)交點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x-2）（x+1），然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入計(jì)算求出a的值，即可得到二次函數(shù)解析式；
（2）設(shè)OP=x，然后表示出PC、PA的長度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交x軸于A（-1，0）、B（2，0），
∴設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-2）（x+1）（a≠0）．
將x=0，y=-2代入，得-2=a（0-2）（0+1），
解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x-2）（x+1），即y=x²-x-2；

（2）如圖．由（1）知，拋物線的解析式為y=x²-x-2，則C（0，-2）．
設(shè)OP=x，則PA=PC=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x²+2²=（x+1）²，
解得，x=

3

2

，即OP=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與x軸的交點(diǎn)．利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式時(shí)，注意合理利用拋物線解析式的三種形式．