Question

【題目】如圖，點F在ABCD的對角線AC上，過點F，B分別作AB，AC的平行線相交于點E，連接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若BE=5，AD=8，sin∠CBE= ，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵EF∥AB，BE∥AF，

∴四邊形ABEF是平行四邊形．

∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

∴ABEF是菱形；

（2）解：作DH⊥AC于點H，

∵ ，

∴∠CBE=30°，

∵BE∥AC，

∴∠1=∠CBE，

∵AD∥BC，

∴∠2=∠1，

∴∠2=∠CBE=30°，

Rt△ADH中， ，

DH=ADsin∠2=4，

∵四邊形ABEF是菱形，

∴CD=AB=BE=5，

Rt△CDH中， ，

∴ ．

【解析】（1）易證四邊形ABEF是平行四邊形，再證AB=AF，即可得證；
（2）作DH⊥AC于點H，求得∠CBE=30°，再證明∠2=∠1=30°，求出AH的長，在Rt△CDH中求出CH的長，由AC=AH+CH可得.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念和平行四邊形的性質(zhì)的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．