Question

【題目】對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)﹣1≤x≤1時，﹣1≤y≤1，則稱這個函數(shù)為“閉函數(shù)”.例如：y＝x，y＝﹣x均是“閉函數(shù)”（如圖所示）.已知：y＝ax2+bx+c（a≠0）是“閉函數(shù)”，且拋物線經(jīng)過點A（1，﹣1）和點B（﹣1，1）.

（1）請說明a、c的數(shù)量關(guān)系并確定b的取值；

（2）請你確定a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）a與c互為相反數(shù)， b＝﹣1；（2）﹣≤a＜0或0＜a≤

【解析】

（1）把A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出答案；

（2）代入得出拋物線表達(dá)式為y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），得出對稱軸為，再進(jìn)行判斷即可.

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（1，﹣1）和點B（﹣1，1），

∴a+b+c＝﹣1 ①，a﹣b+c＝1 ②

①+②得：a+c＝0 即a與c互為相反數(shù)，

①﹣②得：b＝﹣1；

（2）由（1）得：拋物線表達(dá)式為y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），

∴對稱軸為，

當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下，且，

∵拋物線y＝ax2﹣x﹣a（a≠0）經(jīng)過點A（1，﹣1）和點B（﹣1，1），

畫圖可知，當(dāng)時符合題意，此時﹣≤a＜0，

當(dāng)時，圖象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去，

同理，當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上，且，

畫圖可知，當(dāng)時符合題意，此時0＜a≤，

當(dāng)時，圖象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去，

綜上所述：a的取值范圍是﹣≤a＜0或0＜a≤.