Question

3．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線上一點，BE═DG，連接EG，CF⊥EG于點H，交AD于點F，連CE，BH．若BH=4$\sqrt{2}$，則FG=5．

Answer 1

分析 連接CG，過點H作HI⊥BC于點I，延長IH交AD于點J，設BE=x，利用全等三角形的性質和相似三角形的性質分別表示出BI、HI的長度，在△BHI中用勾股定理求出x，即可求出FG的長度．

解答 解：連接CG，過點H作HI⊥BC于點I，延長IH交AD于點J，
在△EBC與△GDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{∠EBC=∠GDC}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△GDC，
∴EC=CG，∠ECB=∠GCD，
∵∠ECB+∠ECD=∠GCD+∠ECD，
∴∠ECG=90°，
∵CF⊥EG，
∴H是EG的中點，
∵JH∥AE，
∴△JGH∽△AGE，
∴$\frac{JH}{AE}$=$\frac{HG}{EG}$=$\frac{JG}{AG}$，
設BE=x，
∴AE=6-x，
∴$\frac{JH}{6-x}$=$\frac{1}{2}$，
∴JH=$\frac{1}{2}$（6-x）=3-$\frac{x}{2}$，
∴HI=JI-JH=6-（3-$\frac{x}{2}$）=3+$\frac{x}{2}$，
∴AG=AD+DG=6+x，
∴AJ=BI=$\frac{1}{2}$AG=3+$\frac{x}{2}$，
由勾股定理可得：
BI²+HI²=BH²，
解得：x=2，
∴JH=2，JG=4，
∵JH⊥FG，FH⊥HG，
∴∠FHJ=∠JGH，
∴△FHJ∽△HGJ，
∴$\frac{JH}{FJ}$=$\frac{JG}{JH}$，
∴JH²=FJ•JG，
∴FJ=1，
∴FG=5，
故答案為5

點評 本題涉及正方形的性質，全等三角形的性質和相似三角形的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理等知識，綜合程度較高，需要學生靈活運用知識進行解答．