Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，OB=1，∠OBC=60°．

（1）如圖1，求直線BC的解析式；

（2）如圖1，線段AC上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，PD⊥x軸于點(diǎn)H，交線段AC于點(diǎn)D，直線BG∥AC，交拋物線于點(diǎn)G，點(diǎn)F是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，FE∥BC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)Q是點(diǎn)A關(guān)于直線BG的對(duì)稱點(diǎn)，連接PE、QF．當(dāng)線段PD取最大值時(shí)，求PE+EF+QF的最小值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）如圖2，將△BOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△B′O C′的位置，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B′、C′，點(diǎn)B′恰好落在BC上．將△B′O C′沿直線AC平移，得到△B′′O ′ C′′，點(diǎn)B′、C′、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B′′、C′′、O ′，連接B ′ B′′、B ′C′′，△B ′B′′C′′是否能為等腰三角形？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的C′′的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PE+EF+QF最小值為 +2， E點(diǎn)坐標(biāo)；（3）能，，，，

【解析】

（1）利用三角函數(shù)求出OC的長(zhǎng)得到拋物線的解析式，求出圖象與x軸的交點(diǎn)，設(shè)直線BC解析式為：，即可將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入求出答案；

（2）先求出直線AC的解析式，設(shè)點(diǎn)P、D的坐標(biāo)，根據(jù)PD最大求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用勾股定理的逆定理及對(duì)稱性得到△ABQ是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥x軸于點(diǎn)M，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)平移規(guī)律得到Q ′的坐標(biāo)，連接P Q ′交AC于點(diǎn)E，再利用勾股定理求出, 得到PE+EF+QF最小值= P Q ′+EF，由此求出答案；

（3）根據(jù)點(diǎn)的位置分四種情況進(jìn)行求解：①當(dāng)=時(shí)，②當(dāng)=時(shí)，③當(dāng)時(shí)，④當(dāng)時(shí)，分別求出點(diǎn)C′′的坐標(biāo).

（1）在△BOC 中，OB=1，∠OBC=60°

∴BC=2，OC=，

∴拋物線解析式為：

令y=0，得，

解之得 ， ，

∴A(－3，0)，B（1,0），C（0，），

設(shè)直線BC解析式為：，經(jīng)過(guò)B（1,0），C（0，），

∴ ,

得,

∴；

（2）設(shè)直線AC解析式為：，經(jīng)過(guò)A(－3，0)，B（1,0），得，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則D點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴PD=

當(dāng) 時(shí)，PD有最大值，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為，

在R△AOC中，可以求出AC=2，AB=4 ，

∴AC2+BC2=12+4=16=AB2

由勾股定理逆定理得，可得∠ACB=90°,

可得∠CAB=30°=∠ABG，

由對(duì)稱可得，AB=BQ=4, ∠ABQ=30°+30°=60°,

∴△ABQ是等邊三角形，

過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥x軸于點(diǎn)M，

∴MB=4,且OB=1

∴OM=1,QM=2

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－2）

由題意得，四邊形BCEF是矩形，可得EF=BC=2，

將Q點(diǎn)沿射線EF方向平移2個(gè)單位(向左平移1個(gè)單位，向上平移個(gè)單位)，可得Q ′的坐標(biāo)為（－2，－）

連接P Q ′交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求，

P Q ′=

PE+EF+QF最小值= P Q ′+EF= +2，

直線P Q的解析式為：

聯(lián)立，可得E點(diǎn)坐標(biāo)

（3）存在，

∵A(－3，0)，B（1,0），C（0，），

∴OA=3，OB=1，OC=，

∴,,

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB=30°，AC=2，

∴,

由旋轉(zhuǎn)得到， ,

∵∥,=，

∴四邊形是平行四邊形，

①將三角形向上平移，當(dāng)=時(shí)，如圖1，延長(zhǎng)交y軸于D，

∴四邊形是菱形，

∴,

∵,

∴,

∵,

∴， ，

∴OD=OC+CD=,

∴；

②將三角形向下平移，當(dāng)=時(shí)，如圖2，則四邊形是菱形，

∴

過(guò)點(diǎn)作⊥,

∵,

∴=1，,

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是；

③當(dāng)時(shí)，如圖3，

則，

∵∠ACB=90°，

∴,

延長(zhǎng)交y軸于D，

∵,

∴,,

∴OD=OC+CD=,

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是；

④當(dāng)時(shí)，如圖4，過(guò)點(diǎn)作⊥,

∴,

∴,

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，.