Question

13．已知，如圖拋物線y=ax²+3ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側(cè)．點B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；
（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)OC=3OB，B（1，0），求出C點坐標(biāo)（0，-3），把點B，C的坐標(biāo)代入y=ax²+2ax+c，求出a點坐標(biāo)即可求出函數(shù)解析式；
（2）過點D作DE∥y軸分別交線段AC于點E．設(shè)D（m，m²+2m-3），然后求出DE的表達(dá)式，把S_{四邊形ABCD}分解為S_△ABC+S_△ACD，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值；
（3）①過點C作CP₁∥x軸交拋物線于點P₁，過點P₁作P₁E₁∥AC交x軸于點E₁，此時四邊形ACP₁E₁為平行四邊形．②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P₂，P₃，由題意可知點P₂、P₃的縱坐標(biāo)為3，從而可求得其橫坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵B的坐標(biāo)為（1，0），
∴OB=1．
∵OC=3OB=3，點C在x軸下方，
∴C（0，-3）．
∵將B（1，0），C（0，-3）代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{3}{4}$，C=-3，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3．
（2）如圖1所示：過點D作DE∥y，交AC于點E．

∵x=-$\frac{2a}$=$\frac{-\frac{9}{4}}{2×\frac{3}{4}}$=-$\frac{3}{2}$，B（1，0），
∴A（-4，0）．
∴AB=5．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×5×3=7.5．
設(shè)AC的解析式為y=kx+b．
∵將A（-4，0）、C（0，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得：k=-$\frac{3}{4}$，b=-3，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x-3．
設(shè)D（a，$\frac{3}{4}$a²+$\frac{9}{4}$a-3），則E（a，-$\frac{3}{4}$a-3）．
∵DE=-$\frac{3}{4}$a-3-（$\frac{3}{4}$a²+$\frac{9}{4}$a-3）=-$\frac{3}{4}$（a+2）²+3，
∴當(dāng)a=-2時，DE有最大值，最大值為3．
∴△ADC的最大面積=$\frac{1}{2}$DE•AO=$\frac{1}{2}$×3×4=6．
∴四邊形ABCD的面積的最大值為13.5．
（3）存在．
①如圖2，過點C作CP₁∥x軸交拋物線于點P₁，過點P₁作P₁E₁∥AC交x軸于點E₁，此時四邊形ACP₁E₁為平行四邊形．

∵C（0，-3），令$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3=-3，
∴x₁=0，x₂=-3．
∴P₁（-3，-3）．
②平移直線AC交x軸于點E₂，E₃，交x軸上方的拋物線于點P₂，P₃，當(dāng)AC=P₂E₂時，四邊形ACE₂P₂為平行四邊形，當(dāng)AC=P₃E₃時，四邊形ACE₃P₃為平行四邊形．
∵C（0，-3），
∴P₂，P₃的縱坐標(biāo)均為3．
令y=3得：$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3=3，解得；x₁=$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，x₂=$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$．
∴P₂（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，3），P₃（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，3）．
綜上所述，存在3個點符合題意，坐標(biāo)分別是：P₁（-3，-3），P₂（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，3），P₃（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，3）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)求最值，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)題意作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵，在解答（3）時要注意進(jìn)行分類討論．