Question

6．已知如圖邊長(zhǎng)為1cm的兩個(gè)正方形互相重合，按住其中一個(gè)不動(dòng)，將另一個(gè)繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是$\frac{\sqrt{3}}{3}$cm²．

Answer 1

分析 連結(jié)BH，如圖，利用正方形的性質(zhì)得BA=BC，∠ABC=∠A=∠C=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BC，∠EBC=60°，則可根據(jù)“HL”判斷Rt△BHE≌Rt△BHC，則∠HBE=∠HBC=30°，接著在Rt△EBH中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到EH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則根據(jù)三角形面積公式得到S_△HBE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，于是得到S_{四邊形BEHC}=2S_△HBE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$cm²．

解答 解：連結(jié)BH，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BA=BC，∠ABC=∠A=∠C=90°，
∵正方形BADC繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形BEFG，
∴BA=BE=1，∠ABE=30°，∠E=∠A=90°，
∴BE=BC，∠EBC=60°，
在Rt△BHE和Rt△BHC中
$\left\{\begin{array}{l}{BH=BH}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BHE≌Rt△BHC，
∴∠HBE=∠HBC=30°，
在Rt△EBH中，∵∠HBE=30°，
∴EH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△HBE=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴S_{四邊形BEHC}=2S_△HBE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（cm²），
即這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是$\frac{\sqrt{3}}{3}$cm²．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．