Question

如圖，在平面直角坐標系中，己知點O（0，0），A（5，0），B（4，4）．
（1）求過O、B、A三點的拋物線的解析式．
（2）在第一象限的拋物線上存在點M，使以O(shè)、A、B、M為頂點的四邊形面積最大，求點M的坐標．
（3）作直線x=m交拋物線于點P，交線段OB于點Q，當△PQB為等腰三角形時，求m的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題,分類討論

分析：（1）由于拋物線與x軸的兩個交點已知，因此拋物線的解析式可設(shè)成交點式，然后把點B的坐標代入，即可求出拋物線的解析式．
（2）以O(shè)、A、B、M為頂點的四邊形中，△OAB的面積固定，因此只要另外一個三角形面積最大，則四邊形面積即最大；求出另一個三角形面積的表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最值；本問需分類討論：
①當0＜x＜4時，點M在拋物線OB段上時，如答圖1所示；
②當4＜x＜5時，點M在拋物線AB段上時，圖略．
（3）△PQB為等腰三角形時，有三種情形，需要分類討論，避免漏解：
①若點B為頂點，即BP=BQ，如答圖2-1所示；
②若點P為頂點，即PQ=PB，如答圖2-2所示；
③若點Q為頂點，即QP=QB，如答圖2-3所示．

解答：解：（1）∵該拋物線經(jīng)過點A（5，0），O（0，0），
∴該拋物線的解析式可設(shè)為y=a（x-0）（x-5）=ax（x-5）．
∵點B（4，4）在該拋物線上，
∴a×4×（4-5）=4．
∴a=-1．
∴該拋物線的解析式為y=-x（x-5）=-x²+5x．

（2）以O(shè)、A、B、M為頂點的四邊形中，△OAB的面積固定，因此只要另外一個三角形面積最大，則四邊形面積即最大．
①當0＜x＜4時，點M在拋物線OB段上時，如答圖1所示．

∵B（4，4），∴易知直線OB的解析式為：y=x．
設(shè)M（x，-x²+5x），
過點M作ME∥y軸，交OB于點E，則E（x，x），
∴ME=（-x²+5x）-x=-x²+4x．
S_△OBM=S_△MEO+S_△MEB=

1

2

ME（x_E-0）+

1

2

ME（x_B-x_E）=

1

2

ME•x_B=

1

2

ME×4=2ME，
∴S_△OBM=-2x²+8x=-2（x-2）²+8
∴當x=2時，S_△OBM最大值為8，即四邊形的面積最大．
②當4＜x＜5時，點M在拋物線AB段上時，圖略．
可求得直線AB解析式為：y=-4x+20．
設(shè)M（x，-x²+5x），
過點M作ME∥y軸，交AB于點E，則E（x，-4x+20），
∴ME=（-x²+5x）-（-4x+20）=-x²+9x-20．
S_△ABM=S_△MEB+S_△MEA=

1

2

ME（x_E-x_B）+

1

2

ME（x_A-x_E）=

1

2

ME•（x_A-x_B）=

1

2

ME×1=

1

2

ME，
∴S_△ABM=-

1

2

x²+

9

2

x-10=-

1

2

（x-

9

2

）²+

1

8

∴當x=

9

2

時，S_△ABM最大值為

1

8

，即四邊形的面積最大．
比較①②可知，當x=2時，四邊形面積最大．
當x=2時，y=-x²+5x=6，
∴M（2，6）．

（3）由題意可知，點P在線段OB上方的拋物線上．
設(shè)P（m，-m²+5m），則Q（m，m）
當△PQB為等腰三角形時，
①若點B為頂點，即BP=BQ，如答圖2-1所示．
過點B作BE⊥PQ于點E，則點E為線段PQ中點，
∴E（m，

-m2+6m

2

）．
∵BE∥x軸，B（4，4），
∴

-m2+6m

2

=4，
解得：m=2或m=4（與點B重合，舍去）
∴m=2；

②若點P為頂點，即PQ=PB，如答圖2-2所示．
易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，則△PQB為等腰直角三角形．
∴PB∥x軸，
∴-m²+5m=4，
解得：m=1或m=4（與點B重合，舍去）
∴m=1；
③若點Q為頂點，即QP=QB，如答圖2-3所示．
∵P（m，-m²+5m），Q（m，m），
∴PQ=-m²+4m．
又∵QB=

2

（x_B-x_Q）=

2

（4-m），
∴-m²+4m=

2

（4-m），
解得：m=

2

或m=4（與點B重合，舍去），
∴m=

2

．
綜上所述，當△PQB為等腰三角形時，m的值為1，2或

2

．

點評：本題是二次函數(shù)壓軸題，涉及考點較多，有一定的難度．重點考查了分類討論的數(shù)學思想，第（2）（3）問均需要進行分類討論，避免漏解．注意第（2）問中求面積表達式的方法，以及第（3）問中利用方程思想求m值的方法．