Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-2mx+m²+m的圖象與關(guān)于x的函數(shù)y=x+1的圖象交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）；（x₁＜x₂），m為任何值時(shí)，猜想AB的長(zhǎng)是否不變？并證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出AB的長(zhǎng)度，再聯(lián)立兩函數(shù)解析式消去y后得到關(guān)于x的方程，可知x₁，x₂是該方程的兩根，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得到AB的長(zhǎng)度為定值．

解答：解：不變，證明如下：
聯(lián)立兩函數(shù)解析式消去y可得：x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，
∴x₁、x₂是該方程的兩根，
∴x₁+x₂=2m+1，x₁x₂=m²+m-1，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（2m+1）²-4（m²+m-1）=5，
∵A、B又在一次函數(shù)圖象上，
∴y₁=x₁+1，y₂=x₂+1，
∴y₁-y₂=x₁-x₂=5，
∴AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

52+52

=5

2

，
∴AB的長(zhǎng)度不變．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與方程的關(guān)系，掌握函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．