Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，寫出DE、AD、BE具有的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，寫出DE、AD、BE具有的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由；
（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，問DE、AD、BE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由；

Answer 1

分析：（1）DE=AD+BE，首先證明△ACD≌△CBE，可得AD=CE，CD=BE，進而得到DE=CE+CD=AD+BE；
（2）DE=AD-BE，首先證明△ADC≌△CEB，可得AD=CE，DC=BE，進而得到DE=AD-BE；
（3）與（2）類似，可證出DE=BE-AD．

解答：（1）DE=AD+BE．
證明：∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△DAC和△ECB中

∠DAC=∠ECB ∠ADC=∠CEB AC=BC

，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE+CD=AD+BE；

（2）∵∠ACB=90°，∠ADC=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ADC和△CEB中，

∠1=∠2 ∠ADC=∠CEB AC=BC

，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；

（3）DE=BE-AD．證明的方法與（2）相同．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)．