Question

【題目】如圖，、是兩個全等的等腰直角三角形，．

若將的頂點放在上（如圖），、分別與、相交于點、．求證：；

若使的頂點與頂點重合（如圖），、與相交于點、．試問與還相似嗎？為什么？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）與相似．理由見解析

【解析】

（1）如圖1，先根據(jù)等腰直角三角形的性質得∠B=∠C=∠DPE=45°，再利用平角定義得到∠BPG+∠CPF=135°，利用三角形內角和定理得到∠BPG+∠BGP=135°，根據(jù)等量代換得∠BGP=∠CPF，加上∠B=∠C，于是根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似即可得到結論；

（2）如圖2，由于∠B=∠C=∠DPE=45°，利用三角形外角性質得∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG，而∠CPF=45°+∠CAG，所以∠AGP=∠CPF，加上∠B=∠C，于是可判斷△PBG∽△FCP．

證明：如圖，

∵、是兩個全等的等腰直角三角形，

∴，

∴，

在中，∵，

∴，

∴，

∵，

∴；

解：與相似．理由如下：

如圖，∵、是兩個全等的等腰直角三角形，

∴，

∵，

，

∴，

∵，

∴．