【題目】如圖,直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),拋物線經(jīng)過點(diǎn),.點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)且垂直于軸的直線分別交直線及拋物線于點(diǎn),.
(1)填空:點(diǎn)的坐標(biāo)為_________,拋物線的解析式為_________;
(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與點(diǎn),重合),
①當(dāng)為何值時(shí),線段最大值,并求出的最大值;
②求出使為直角三角形時(shí)的值;
(3)若拋物線上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離是,請(qǐng)直接寫出此時(shí)由點(diǎn),,,構(gòu)成的四邊形的面積.
【答案】(1),;
(2)①當(dāng)時(shí),有最大值是3; ②使為直角三角形時(shí)的值為3或;
(3)點(diǎn),,,構(gòu)成的四邊形的面積為:6或或.
【解析】
(1)把點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線表達(dá)式y=,求出a=3,把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式,即可求解;
(2)①設(shè):點(diǎn)P(m,),N(m,)求出PN值的表達(dá)式,即可求解;②分∠BNP=90°、∠NBP=90°、∠BPN=90°三種情況,求解即可;
(3)若拋物線上有且只有三個(gè)點(diǎn)N到直線AB的距離是h,則只能出現(xiàn):在AB直線下方拋物線與過點(diǎn)N的直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)N,在直線AB上方的交點(diǎn)有兩個(gè),分別求解即可.
解:(1)把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線表達(dá)式,
解得:,則:直線表達(dá)式為:,令,則:,
則點(diǎn)坐標(biāo)為,
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:,
把點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:,
解得:,
故:拋物線的解析式為:,
故:答案為:,;
(2)①∵在線段上,且軸,
∴點(diǎn),,
∴,
∵,
∴拋物線開口向下,
∴當(dāng)時(shí),有最大值是3,
②當(dāng)時(shí),點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3,
把代入拋物線的表達(dá)式得:,解得:或0(舍去),
∴;
當(dāng)時(shí),∵,兩直線垂直,其值相乘為-1,
設(shè):直線的表達(dá)式為:,
把點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式,解得:,則:直線的表達(dá)式為:,
將上式與拋物線的表達(dá)式聯(lián)立并解得:或0(舍去),
當(dāng)時(shí),不合題意舍去,
故:使為直角三角形時(shí)的值為3或;
(3)∵,,
在中,,則:,,
∵軸,
∴,
若拋物線上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離是,
則只能出現(xiàn):在直線下方拋物線與過點(diǎn)的直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),在直線上方的交點(diǎn)有兩個(gè).
當(dāng)過點(diǎn)的直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),
點(diǎn)的坐標(biāo)為,設(shè):點(diǎn)坐標(biāo)為:,
則:,過點(diǎn)作的平行線,
則點(diǎn)所在的直線表達(dá)式為:,將點(diǎn)坐標(biāo)代入,
解得:過點(diǎn)直線表達(dá)式為:,
將拋物線的表達(dá)式與上式聯(lián)立并整理得:,
,
將代入上式并整理得:,
解得:,則點(diǎn)的坐標(biāo)為,
則:點(diǎn)坐標(biāo)為,則:,
∵,,∴四邊形為平行四邊形,則點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離,
即:過點(diǎn)與平行的直線與拋物線的交點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn),即:、,
直線的表達(dá)式為:,將該表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立并整理得:
,解得:,
則點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為,,
作交直線于點(diǎn),
則,
作軸,交軸于點(diǎn),則:,,
,
則:,
同理:,
故:點(diǎn),,,構(gòu)成的四邊形的面積為:6或或.
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【題目】某自行車經(jīng)銷商計(jì)劃投入7.1萬元購進(jìn)100輛A型和30輛B型自行車,其中B型車單價(jià)是A型車單價(jià)的6倍少60元.
(1)求A、B兩種型號(hào)的自行車單價(jià)分別是多少元?
(2)后來由于該經(jīng)銷商資金緊張,投入購車的資金不超過5.86萬元,但購進(jìn)這批自行年的總數(shù)不變,那么至多能購進(jìn)B型車多少輛?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與雙曲線交于點(diǎn)A,過點(diǎn)作AO的平行線交雙曲線于點(diǎn)B,連接AB并延長(zhǎng)與y軸交于點(diǎn),則k的值為______.
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【題目】在一個(gè)不透明的口袋里裝有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共4個(gè),某學(xué)習(xí)小組進(jìn)行摸球試驗(yàn),將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色,再放回,下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
摸球的次數(shù)n | 100 | 150 | 200 | 500 | 800 | 1000 |
摸到黑球的次數(shù)m | 23 | 33 | 60 | 130 | 202 | 251 |
摸到黑球的頻率 |
當(dāng)n很大時(shí),估計(jì)從袋中摸出一個(gè)黑球的概率是______;
試估算口袋中白球有______個(gè);
在的條件下,若從中先換出一球,不放回,搖勻后再摸出一球,請(qǐng)用列表或樹狀圖的方法求兩次都摸到白球的概率.
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【題目】我市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米15000元的均價(jià)對(duì)外銷售,由于國(guó)務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后,購房者持幣觀望,房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn),對(duì)價(jià)格經(jīng)過兩次下調(diào)后,決定以每平方米12150元的均價(jià)開盤銷售
求平均每次下調(diào)的百分率.
某人準(zhǔn)備以開盤價(jià)均價(jià)購買一套100平方米的住房,開發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇:
打折銷售;不打折,一次性送裝修費(fèi)每平方米250元.
試問哪種方案更優(yōu)惠?比另外一種方案優(yōu)惠多少元?不考慮其他因素
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)M是邊BC上的一點(diǎn)(不與B、C重合),點(diǎn)N在CD邊的延長(zhǎng)線上,且滿足∠MAN=90°,聯(lián)結(jié)MN、AC,N與邊AD交于點(diǎn)E.
(1)求證:AM=AN;
(2)如果∠CAD=2∠NAD,求證:AM2=ACAE.
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【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A,B,與y軸交于C,拋物線的頂點(diǎn)為D,直線l過C交x軸于E(4,0).
(1)寫出D的坐標(biāo)和直線l的解析式;
(2)P(x,y)是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)(不與B,D重合),PF⊥x軸于F,設(shè)四邊形OFPC的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最大值;
(3)點(diǎn)Q在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),過Q作y軸的平行線,交直線l于M,交拋物線于N,連接CN,將△CMN沿CN翻轉(zhuǎn),M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M′.在圖2中探究:是否存在點(diǎn)Q,使得M′恰好落在y軸上?若存在,請(qǐng)求出Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,等腰△OBC的邊OB在x軸上,OB=CB,OB邊上的高CA與OC邊上的高BE相交于點(diǎn)D,連接OD,AB=,∠CBO=45°,在直線BE上求點(diǎn)M,使△BMC與△ODC相似,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是________.
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