Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)A（1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以B，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似（相似比不為1）？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）此拋物線的解析式為．（2）存在．符合條件的點(diǎn)P為（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）.

【解析】

試題分析：（1）本題需先根據(jù)已知條件，過C點(diǎn)，設(shè)出該拋物線的解析式為y=ax2+bx﹣2，再根據(jù)過A，B兩點(diǎn)，即可得出結(jié)果．

（2）本題首先判斷出存在，首先設(shè)出橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，從而得出PA的解析式，再分三種情況進(jìn)行討論，當(dāng)=時(shí)和時(shí)，當(dāng)P，C重合時(shí)，△APM≌△ACO，分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解：（1）∵該拋物線過點(diǎn)C（0，﹣2），

∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx﹣2．

將A（1，0），B（4，0）代入，

得，解得，

∴此拋物線的解析式為．

（2）存在．如圖，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，

則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣m2+m﹣2，

當(dāng)1＜m＜4時(shí)，AM=4﹣m，PM=﹣﹣m2+m﹣2，

又∵∠COA=∠PMA=90°，

∴①當(dāng)=時(shí)，

∵C在拋物線上，

∴OC=2，

∵OA=4，

∴==2時(shí)，

∴△APM∽△ACO，

即4﹣m=2（﹣m2+m﹣2），

解得m1=2，m2=4（舍去），

∴P（2，1）．

②當(dāng)時(shí)，△APM∽△CAO，即2（4﹣m）=﹣m2+m﹣2，

解得m1=4，m2=5（均不合題意，舍去）

∴當(dāng)1＜m＜4時(shí)，P（2，1），

當(dāng)m＞4時(shí)，AM=m﹣4，PM=m2﹣m+2，

①，②=時(shí)，

把P（m，﹣m2+m﹣2），代入得：2（﹣m2+m﹣2）=m﹣4，2（m﹣4）=﹣m2+m﹣2，

解得：第一個(gè)方程的解是m=﹣2﹣2＜4（舍去）m=﹣2+2＜4（舍去），

第二個(gè)方程的解是m=5，m=4（舍去）

求出m=5，=﹣m2+m﹣2=﹣2，

則P（5，﹣2），

當(dāng)m＜1時(shí)，AM=4﹣m，PM=﹣m2+m﹣2，

①，②=時(shí)，

則：2（m2﹣m+2）=4﹣m，2（4﹣m）=m2﹣m+2，

解得：第一個(gè)方程的解是m=0（舍去），m=4（舍去），第二個(gè)方程的解是m=4（舍去），m=﹣3，

m=﹣3時(shí)，﹣m2+m﹣2=﹣14，

則P（﹣3，﹣14），

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14），