Question

已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，點(diǎn)P在BC上，且∠MPN=90°．
（1）當(dāng)點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在線段AB、BC上時(shí)（如圖1）．過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，請(qǐng)?zhí)剿鱌N與PM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)PC=

2

PA，
①點(diǎn)M、N分別在線段 AB、BC上，如圖2時(shí)，請(qǐng)寫出線段PN、PM之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
②當(dāng)點(diǎn)M、K分別在線段AB、BC的延長線上，如圖3時(shí)，請(qǐng)判斷①中線段PN、PM之間的數(shù)量關(guān)系是否還存在．（直接寫出答案，不用證明）

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點(diǎn)P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于點(diǎn)F，則四邊形BFPE是矩形，所以△PFN∽△PEM得出

PF

PE

=

PN

PM

=

AB

BC

，然后根據(jù)余切函數(shù)即可求得．
（2）同（1）證得△PFN∽△PEM得出

PF

PE

=

PN

PM

，然后在Rt△AEP和Rt△PFC中通過三角函數(shù)求得PF=

3

2

PC，PE=

1

2

PA，即可求得．

解答：
解：（1）PN=

3

PM，
理由：如圖1，作PF⊥BC，
∵∠ABC=90°，PE⊥AB，
∴PE∥BC，PF∥AB，
∴四邊形PFBE是矩形，
∴∠EPF=90°
∴P是AC的中點(diǎn)，
∴PE=

1

2

BC，PF=

1

2

AB，
∵∠MPN=90°，∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
∴△MPE∽△NPF，
∴

PN

PM

=

PF

PE

=

AB

BC

，
∵∠A=30°，
在RT△ABC中，cot30°=

AB

Bc

=

3

，
∴

PN

PM

=

3

，
即PN=

3

PM．


（2）解；①PN=

6

PM，
如圖2  在Rt△ABC中，過點(diǎn)P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于點(diǎn)F
∴四邊形BFPE是矩形，
∴△PFN∽△PEM
∴

PF

PE

=

PN

PM

，
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中，∠A=30°，∠C=60°
∴PF=

3

2

PC，PE=

1

2

PA
∴

PN

PM

=

PF

PE

=

3 PC

PA

∵PC=

2

PA 
∴

PN

PM

=

6

，
即：PN=

6

PM


②如圖3，成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用．