Question

【題目】如圖1，已知二次函數(shù)y=ax2+x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標(biāo)為（8，0），連接AB、AC．

（1）請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達式；

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）若點N在x軸上運動，當(dāng)以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請寫出此時點N的坐標(biāo)；

（4）如圖2，若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當(dāng)△AMN面積最大時，求此時點N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形（3）若點N在x軸上運動，當(dāng)以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，點N的坐標(biāo)分別為（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）（4）當(dāng)△AMN面積最大時，N點坐標(biāo)為（3，0）

【解析】

試題（1）由A點坐標(biāo)確定解析式中c值，再把C點坐標(biāo)代入解析式求出a值，從而確定此解析式；（2）根據(jù)解析式求出B點坐標(biāo)，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB，在Rt△AOC中，利用勾股定理求出AC，然后利用勾股定理的逆定理驗證△ABC是直角三角形；（3）滿足△ANC為等腰三角形的N點有四個，在x軸負半軸有兩點，滿足AN=AC，AC=NC，在x軸正半軸存在兩點，滿足AN=CN，AC=NC，然后先求出AC長，利用等腰三角形兩腰相等，和勾股定理易求出N點橫坐標(biāo)，因為N在x軸上，所以縱坐標(biāo)是0，從而得到N點坐標(biāo)．（4）先找到自變量，設(shè)點N的坐標(biāo)為（n，0），則BN=n+2，過M點作MD⊥x軸于點D，利用平行線分線段成比例定理和三角形相似把MD用n表示出來，這樣△AMN的面積就用△ABN的面積減去△BMN的面積，從而建立S與n的二次函數(shù)，討論n的取值及函數(shù)最大值，即可求出△AMN面積最大時，點N的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵A（0，4），∴c=4，，把點C坐標(biāo)（8，0）代入解析式，得：a=－，∴二次函數(shù)表達式為；（2）令y=0，則解得，x1=8，x2="-2" ，∴點B的坐標(biāo)為（-2，0），由已知可得，在Rt△AOB中，AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+ AC2=20+80=102=BC2，∴△ABC是直角三角形；（3）由勾股定理先求出AC，AC==，①在x軸負半軸，當(dāng)AC=AN時，NO=CO=8，∴此時N（-8，0）；②在x軸負半軸，當(dāng)AC=NC時，NC=AC=，∵CO=8，∴NO=-8，∴此時N（8-，0）；③在x軸正半軸，當(dāng)AN=CN時，設(shè)CN=x，則AN=x，ON=8-x，在Rt△AON中，＋=，得：x=5，∴ON=3，∴此時N（3，0）；④在x軸正半軸，當(dāng)AC=NC時，AC=NC=，∴ON=＋8，∴此時N（＋8，0）；綜上所述：滿足條件的N點坐標(biāo)是（-8，0）、（8-，0）、（3，0）、（8+，0）；（4）設(shè)點N的坐標(biāo)為（n，0），則BN=n+2，過M點作MD⊥x軸于點D，∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，，∵MN∥AC，∴，∴，∵OA=4，BC=10，BN=n+2，∴MD=（n+2），∵S△AMN= S△ABN- S△BMN=

=－+5，∵－<0，∴n=3時，S有最大值，∴當(dāng)△AMN面積最大時，N點坐標(biāo)為（3，0）．