Question

【題目】在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn),得到△ADE,旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°）,點B的對應點為點D,點C的對應點為點E,連接BD，BE．

（1）如圖,當α=60°時,延長BE交AD于點F．

①求證：△ABD是等邊三角形；

②求證：BF⊥AD，AF=DF；

③請直接寫出BE的長；

（2）在旋轉(zhuǎn)過程中,過點D作DG垂直于直線AB,垂足為點G,連接CE,當∠DAG=∠ACB,且線段DG與線段AE無公共點時,請直接寫出BE+CE的值．

Answer 1

【答案】（1）①②詳見解析；③3﹣4；（2）13．

【解析】

（1）①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知AB=AD，∠BAD=60°即可得證；②由BA=BD、EA=ED根據(jù)中垂線性質(zhì)即可得證；③分別求出BF、EF的長即可得；

（2）由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC得∠BAE=∠BAC且AE=AC，根據(jù)三線合一可得CE⊥AB、AC=5、AH=3，繼而知CE=2CH=8、BE=5，即可得答案．

（1）①∵△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，

∴AB=AD，∠BAD=60°，

∴△ABD是等邊三角形；

②由①得△ABD是等邊三角形，

∴AB=BD，

∵△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，

∴AC=AE，BC=DE，

又∵AC=BC，

∴EA=ED，

∴點B、E在AD的中垂線上，

∴BE是AD的中垂線，

∵點F在BE的延長線上，

∴BF⊥AD， AF=DF；

③由②知BF⊥AD，AF=DF，

∴AF=DF=3，

∵AE=AC=5，

∴EF=4，

∵在等邊三角形ABD中，BF=ABsin∠BAF=6×=3，

∴BE=BF﹣EF=3﹣4；

（2）如圖所示，

∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，

∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°，

又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°，

∴∠BAE=∠ABC，

∵AC=BC=AE，

∴∠BAC=∠ABC，

∴∠BAE=∠BAC，

∴AB⊥CE，且CH=HE=CE，

∵AC=BC，

∴AH=BH=AB=3，

則CE=2CH=8，BE=5，

∴BE+CE=13．