Question

20．如圖AB是⊙O的直徑，AC、DC為弦，∠ACD=60°，P為AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠APD=30°．
（1）求證：DP是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5cm，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）求出OP、DP長(zhǎng)，分別求出扇形DOB和三角形ODP面積，即可求出答案．

解答 （1）證明：連接OD，
∵∠ACD=60°，
∴由圓周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°，
∴∠DOP=180°-120°=60°，
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°-30°-60°=90°，
∴OD⊥DP，
∵OD為半徑，
∴DP是⊙O切線；

（2）解：∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=5cm，
∴OP=10cm，由勾股定理得：DP=5$\sqrt{3}$cm，
∴圖中陰影部分的面積S=S_△ODP-S_扇形DOB=$\frac{1}{2}$×5×5$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{5}^{2}}{360}$=（$\frac{25\sqrt{3}}{2}$-$\frac{25}{6}$π）cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了扇形面積，三角形面積，切線的判定，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力．