Question

如圖，已知⊙O₁與⊙O₂相交于A，B兩點，直線MN⊥AB于A，且分別與⊙O₁，⊙O₂交于M、N，P為線段MN的中點，又∠AO₁Q₁=∠AO₂Q₂，求證：PQ₁=PQ₂．

Answer 1

考點：四點共圓,線段垂直平分線的性質,圓周角定理,圓內接四邊形的性質,平行線分線段成比例

專題：證明題

分析：連接MQ₁、BQ₁、BQ₂、NQ₂，過點P作PH⊥Q₁B于H，利用圓內接四邊形的性質和圓周角定理可證到_^Q1、B、Q₂三點共線，MQ₁∥NQ₂，進而可證到MQ₁∥PH∥NQ₂，然后根據(jù)平行線分線段成比例可得H為線段Q₁Q₂的中點，然后利用線段垂直平分線的性質就可證到結論．

解答：解：連接MQ₁、BQ₁、BQ₂、NQ₂，過點P作PH⊥Q₁B于H，如圖所示．
則由圓內接四邊形的性質可得：
∠Q₁MA+∠ABQ₁=180°，∠ABQ₂+∠ANQ₂=180°，∠MAB=∠BQ₂N．
由圓周角定理可得：
∠ABQ₁=

1

2

∠AO₁Q₁，∠ANQ₂=

1

2

∠AO₂Q₂．
∵∠AO₁Q₁=∠AO₂Q₂，
∴∠ABQ₁=∠ANQ₂，
∴∠ABQ₂+∠ABQ₁=∠ABQ₂+∠ANQ₂=180°，
∴Q₁、B、Q₂三點共線．
由圓內接四邊形的性質可得：∠ABQ₁=∠ANQ₂，
∴∠Q₁MA+∠ANQ₂=∠Q₁MA+∠ABQ₁=180°，
∴MQ₁∥NQ₂．
∵AB⊥MN，
∴∠MAB=90°，
∴∠Q₁Q₂N=∠MAB=90°．
∵PH⊥Q₁B，即∠Q₁HP=90°，
∴∠Q₁HP=∠Q₁Q₂N，
∴PH∥NQ₂，
∴MQ₁∥PH∥NQ₂．
∵P為線段MN的中點，
∴H為線段Q₁Q₂的中點，
∴PH垂直平分Q₁Q₂，
∴PQ₁=PQ₂．

點評：本題考查了圓內接四邊形的性質、圓周角定理、平行線分線段成比例、線段垂直平分線的性質等知識，利用平行線分線段成比例是解決本題的關鍵，需要注意的是：只有證到Q₁、B、Q₂三點共線后，才能運用平行線分線段成比例．