Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以5cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以4cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（0＜t＜2），連接PQ．當(dāng)△CPQ是以PC為腰的等腰三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

分析：過(guò)點(diǎn)P分別作PD⊥AC，垂足為D，PE⊥BC垂足為E，由題意得：BP=5t，CQ=4t，AP=10-5t，然后由PD∥BC，得到

AP

AB

=

PD

BC

=

AD

AC

，進(jìn)而表示出PD=8-4t，AD=6-3t，然后分類(lèi)：①當(dāng)PQ為底時(shí)，求出t=

32-8 7

9

，②當(dāng)QC為底時(shí)，求出t=

4

3

．

解答：解：過(guò)點(diǎn)P分別作PD⊥AC，垂足為D，PE⊥BC垂足為E，
由題意得：BP=5t，CQ=4t，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB²=BC²+AC²，
∴AB²=8²+6²，
∴AB=10，
∴AP=10-5t，
∵PD⊥AC，∠ACB=90°，
∴PD∥BC，
∴

AP

AB

=

PD

BC

=

AD

AC

，
即：

10-5t

10

=

PD

8

=

AD

6

，
∴PD=8-4t，AD=6-3t，
∴DC=3t，
①當(dāng)PQ為底時(shí)，PC=CQ，
即：PC²=CQ²，
∴PD²+CD²=CQ²，
即：（8-4t）²+（3t）²=（4t）²，
解得：t₁=

32+8 7

9

＞2（舍去），
t₂=

32-8 7

9

，
②當(dāng)QC為底時(shí)，PC=CQ，
∵PE⊥BC，
∴CE=

1

2

CQ=2t，
∵PD=CE，
∴8-4t=2t，
解得：t=

4

3

．
綜上所述：當(dāng)t=

32-8 7

9

或

4

3

時(shí)，△PCQ是以PC為腰的等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查一元二次方程的應(yīng)用，涉及幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，此題注意分類(lèi)討論．