Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，M為直線l：x＝a上一點，N是直線l外一點，且直線MN與x軸不平行，若MN為某個矩形的對角線，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為直線l的“伴隨矩形”．如圖為直線l的“伴隨矩形”的示意圖．

（1）已知點A在直線l：x＝2上，點B的坐標為（3，﹣2）

①若點A的縱坐標為0，則以AB為對角線的直線l的“伴隨矩形”的面積是　 ；

②若以AB為對角線的直線l的“伴隨矩形”是正方形，求直線AB的表達；

（2）點P在直線l：x＝m上，且點P的縱坐標為4，若在以點（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）為頂點的四邊形上存在一點Q，使得以PQ為對角線的直線l的“伴隨矩形”為正方形，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①以AB為對角線的直線l的“伴隨矩形”AMBN的面積為2；②直線AB的表達式為y＝﹣x+1或y＝x﹣5；（2）m的范圍為﹣7≤m≤﹣1或1≤m≤7．

【解析】

（1）①根據“伴隨矩形”的定義畫出圖形即可解決問題；

②根據題意，當以AB為對角線的直線l的“伴隨矩形”為正方形時，點A的坐標為（2，-1）或（2，-3），利用待定系數法即可解決問題；

（2）如圖3中，求出經過特殊位置時當P坐標即可解決問題：當Q1坐標為（-2，-1）時，可得P1（-7，4）；當Q2坐標為（2，1）時，可得P2（-14）；當Q3坐標為（2，-1）時，可得P3（7，4）；當Q4坐標為（-2，1）時，可得P4（1，4）；再結合圖象即可解決問題；

（1）①如圖1中，∵A（2，0），B（3，﹣2）．

∴以AB為對角線的直線l的“伴隨矩形”AMBN的面積＝1×2＝2．

②如圖2中，

根據題意，當以AB為對角線的直線l的“伴隨矩形”為正方形時，

點A的坐標為（2，﹣1）或（2，﹣3）．

可得，直線AB的表達式為：y＝﹣x+1或y＝x﹣5．

（2）如圖3中，

當Q1坐標為（﹣2，﹣1）時，可得P1（﹣7，4）；

當Q2坐標為（2，1）時，可得P2（﹣14）；

當Q3坐標為（2，﹣1）時，可得P3（7，4）；

當Q4坐標為（﹣2，1）時，可得P4（1，4）；

觀察圖象可知：在以點（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）為頂點的四邊形上存在一點Q，使得以PQ為對角線的直線l的“伴隨矩形”為正方形時，m的范圍為﹣7≤m≤﹣1或1≤m≤7．