Question

【題目】對(duì)于⊙C與⊙C上的一點(diǎn)A，若平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足：射線AP與⊙C交于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q可以與點(diǎn)P重合），且，則點(diǎn)P稱為點(diǎn)A關(guān)于⊙C的“生長(zhǎng)點(diǎn)”．

已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A（-1，0）．

（1）若點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，且點(diǎn)P在x軸上，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)________；

（2）若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，且滿足，求點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t的取值范圍；

（3）直線與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，若線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，直接寫(xiě)出b的取值范圍是_____________________________．

Answer 1

【答案】（1）（2，0）（答案不唯一）；（2）或；（3）或．

【解析】試題分析：

（1）由題意可知，在x軸上找點(diǎn)P是比較簡(jiǎn)單的，這樣的P點(diǎn)不是唯一的，如點(diǎn)（2，0）、（1，0）等；

（2）如圖1，在x軸上方作射線AM交⊙O于點(diǎn)M，使tan∠MAO=，并在射線AM是取點(diǎn)N，使MN=AM，則由題意可知，線段MN上的點(diǎn)都是符合條件的B點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，連接MC，結(jié)合已知條件求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)即可得到所求B點(diǎn)的縱坐標(biāo)t的取值范圍；根據(jù)對(duì)稱性，在x軸的下方得到線段M′N(xiāo)′，同理可求得滿足條件的B點(diǎn)的縱坐標(biāo)t的另一取值范圍；

（3）如圖2，3，由與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，由此結(jié)合∠OMN的正切函數(shù)可求得∠OMN=60°；

以點(diǎn)D（1，0）為圓心，2為半徑作圓⊙D，則⊙D和⊙O相切于點(diǎn)A，由題意可知，點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長(zhǎng)點(diǎn)”都在⊙O到⊙D之間的平面內(nèi)，包括兩個(gè)圓（但點(diǎn)A除外）.

然后結(jié)合題意和∠OMN=60°分b>0和b<0兩種情況在圖2和圖3中求出ON1和ON2的長(zhǎng)即可得到b的取值范圍了.

試題解析：

（1）由題意可知，在x軸上找點(diǎn)P是比較簡(jiǎn)單的，這樣的P點(diǎn)不是唯一的，如點(diǎn)（2，0）、（1，0）等；

（2）如圖1，在x軸上方作射線AM，與⊙O交于M，且使得，并在AM上取點(diǎn)N，使AM=MN，并由對(duì)稱性，將MN關(guān)于x軸對(duì)稱，得，則由題意，線段MN和上的點(diǎn)是滿足條件的點(diǎn)B.

作MH⊥x軸于H，連接MC，

∴ ∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°.

∵ AC是⊙O的直徑，

∴ ∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°.

∴ ∠OAM=∠HMC.

∴.

∴.

設(shè)，則， ，

∴，解得，即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為.

又由，A為（-1，0），可得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，

故在線段MN上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t滿足： .

由對(duì)稱性，在線段上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t滿足： .

∴ 點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t的取值范圍是或.

（3）如圖2，以點(diǎn)D（1，0）為圓心，2為半徑作圓⊙D，則⊙D和⊙O相切于點(diǎn)A，由題意可知，點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長(zhǎng)點(diǎn)”都在⊙O到⊙D之間的平面內(nèi)，包括兩個(gè)圓（但點(diǎn)A除外）.

∵直線與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，

∴tan∠OMN=，

∴∠OMN=60°，

要在線段MN上找點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，現(xiàn)分“b>0”和“b<0”兩種情況討論：

I、①當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)N1（0，1）時(shí)，線段MN上有點(diǎn)A關(guān)于⊙O的唯一“生長(zhǎng)點(diǎn)”N1，此時(shí)b=1；

②當(dāng)直線與⊙D相切于點(diǎn)B時(shí)，線段MN上有點(diǎn)A關(guān)于⊙O的唯一“生長(zhǎng)點(diǎn)”B，此時(shí)直線與y軸相交于點(diǎn)N2，與x軸相交于點(diǎn)M2，連接DB，則DB=2，

∴DM2=，

∴OM2=，

∴ON2=tan60°·OM2=，此時(shí)b=.

綜合①②可得，當(dāng)b>0時(shí)，若線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，則b的取值范圍為： ；

II、當(dāng)b<0時(shí)，如圖3，同理可得若線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，則b的取值范圍為： ；

綜上所述，若在線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，則b的取值范圍為： 或.