Question

（1）如圖1，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，把△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Q．若PA=3，PB=2

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，PC=5，求∠BQC的度數(shù)．
（2）點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理的逆定理,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)題意得出△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了90°，才使點(diǎn)A與C重合，進(jìn)而得出∠PBQ=90°，再利用勾股定理得出∠PQC的度數(shù)，進(jìn)而求出∠BQC的度數(shù)；
（2）由題意可得出：△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，才使點(diǎn)A與C重合，進(jìn)而得出∠PP'C=90°，即可得出∠BPA的度數(shù)．

解答：解：（1）連接PQ．
由旋轉(zhuǎn)可知：BQ=BP=2

2

，QC=PA=3．

又∵ABCD是正方形，
∴△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了90°，才使點(diǎn)A與C重合，
即∠PBQ=90°，
∴∠PQB=45°，PQ=4．
則在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，
∴PC²=PQ²+QC²．
即∠PQC=90°．
故∠BQC=90°+45°=135°．

（2）將此時(shí)點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P′．

由旋轉(zhuǎn)知，△APB≌△CP′B，即∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12．
又∵△ABC是正三角形，
∴△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，才使點(diǎn)A與C重合，
得∠PBP′=60°，
又∵P′B=PB=5，
∴△PBP′也是正三角形，即∠PP′B=60°，PP′=5．
因此，在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12，
∴PC²=PP′²+P′C²．
即∠PP′C=90°．
故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理逆定理和正方形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練利用勾股定理逆定理得出是解題關(guān)鍵．