Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+1經(jīng)過點(diǎn)A（4，﹣3），頂點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，l是過點(diǎn)（0，2）且垂直于y軸的直線，過P作PH⊥l，垂足為H，連接PO．

（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)處時(shí)，計(jì)算：PO= ，PH= ，由此發(fā)現(xiàn)，PO PH（填“＞”、“＜”或“=”）；

②當(dāng)P點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想PO與PH有什么數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)C（1，﹣2），問是否存在點(diǎn)P，使得以P，O，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+1，頂點(diǎn)B（0，1）；（2）①5，5，=；②結(jié)論：PO=PH，理由詳見解析;(3)點(diǎn)P坐標(biāo)（1，）或（﹣1，）．

【解析】

試題分析：（1）把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+1求得a值，即可得函數(shù)解析式，根據(jù)解析式確定頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）①求出PO、PH即可得結(jié)論；②結(jié)論：PO=PH．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，﹣m2+1），根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式分別求得PH、PO長(zhǎng)，即可得結(jié)論．（3）首先判斷PH與BC，PO與AC是對(duì)應(yīng)邊，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣ m2+1），由列出方程即可解決問題．

試題解析：（1）解：∵拋物線y=ax2+1經(jīng)過點(diǎn)A（4，﹣3），

∴﹣3=16a+1，

∴a=﹣，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+1，頂點(diǎn)B（0，1）．

（2）①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)處時(shí)，∵PO=5，PH=5，

∴PO=PH，

②結(jié)論：PO=PH．

理由：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，﹣m2+1），

∵PH=2﹣（﹣m2+1）=m2+1

PO==m2+1，

∴PO=PH．

（3）∵BC=，AC=，AB=,

∴BC=AC，

∵PO=PH，

又∵以P，O，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，

∴PH與BC，PO與AC是對(duì)應(yīng)邊，

∴，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+1），

∴，

解得m=±1，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（1，）或（﹣1，）．