Question

11．在?ABCD內(nèi)部有甲、乙兩個(gè)小正方形，它們的位置擺放如圖所示．己知∠A=45°，圖中陰影部分的面積為7，則陰影部分的周長(zhǎng)為4+8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連接DF，則B、F、D三點(diǎn)共線，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)K，則DK⊥AB，可設(shè)DE=x，根據(jù)∠A=45°，利用平行四邊形的性質(zhì)可知△DEF、△GFH、△HIC、△ADK和△ABD均為等腰直角三角形，可設(shè)DE=x，則可用x表示出陰影部分的面積，從而可求得x，可分求得DE、EF、BF、AD、AB的長(zhǎng)，從而可求得答案．

解答 解：
如圖，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)K，連接DF，
∵四邊形DEFG為正方形，
∴∠BDE=∠GDF=45°，
∵∠A=45°，且AB∥CD，
∴∠ADC=135°，
∴∠ADB=90°，
∴B、D、F三點(diǎn)共線，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠C=45°，且四邊形BIHF為正方形，
∴△DEF、△GFH、△HIC、△ADK和△ABD均為等腰直角三角形，
設(shè)DE=EF=x，則DF=FB=FH=$\sqrt{2}$x，
∴AD=BD=2$\sqrt{2}$x，AB=4x，
∴S_陰影=S_△ABD-S_△DEF，
即$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$x）²-（$\frac{1}{2}$）²=7，解得x=$\sqrt{2}$或x=-$\sqrt{2}$（舍去），
∴x=$\sqrt{2}$，
∴DE=EF=$\sqrt{2}$，BF=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，AD=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=4，AB=4$\sqrt{2}$，
∴AD+DE+EF+BF+AB=4+$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$+2+4$\sqrt{2}$=6+6$\sqrt{2}$，
即陰影部分的周長(zhǎng)為6+6$\sqrt{2}$，
故答案為：6+6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，①平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行且相等，②平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等，③平行四邊形的對(duì)角線互相平分．