Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-2，0），B（2，0），C（6，0），D為y軸正半軸上一點(diǎn)，且∠ODB=30°，延長DB至E，使BE=BD．P為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（P在C點(diǎn)右邊），M在EP上，且∠EMA=60°，AM交BE于N．
（1）求證：BE=BC；
（2）求證：∠ANB=∠EPC；
（3）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求BP-BN的值．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出AD=BD，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABD=60°，然后判斷出△ABD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BD=AB=4，再求出BC=4，從而得到BC=BD，然后等量代換即可得證；
（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠BAN+∠ANB=∠ABD=60°，∠BAN+∠EPC=∠EMA=60°，即可得證；
（3）求出△BCE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BC=CE，然后求出AB=CE，再求出∠ABN=∠ECP=120°，然后利用“角角邊”證明△ABN和△ECP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等BN=CP，再根據(jù)BP-CP=BC等量代換即可得解．

解答：（1）證明：∵A（-2，0），B（2，0），
∴AD=BD，AB=4，
∵∠ODB=30°，
∴∠ABD=90°-30°=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AB=4，
∵B（2，0），C（6，0），
∴BC=6-2=4，
∴BC=BD，
又∵BE=BD，
∴BE=BC；

（2）證明：由三角形的外角性質(zhì)得，∠BAN+∠ANB=∠ABD=60°，
∠BAN+∠EPC=∠EMA=60°，
所以，∠ANB=∠EPC；

（3）解：∵BE=BD=BC，∠CBE=∠ABD=60°，
∴△BCE是等邊三角形，
∴BC=CE，
∵AB=BC=4，
∴AB=CE，
∵∠ABC=∠BCE=60°，
∴∠ABN=∠ECP=120°，
在△ABN和△ECP中，

∠ANB=∠EPC ∠ABN=∠ECP AB=CE

，
∴△ABN≌△ECP（AAS），
∴BN=CP，
∵BP-CP=BC，
∴BP-BN=BC=4，
故BP-BN的值為4，與點(diǎn)P的位置無關(guān)．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于根據(jù)邊的長度相等得到相等的邊．