Question

如圖，銳角△ABC內接于圓O，AD⊥BC，BE⊥AC，OM⊥BC，垂足分別為D、E、M．
（1）若∠ACB=60°，求∠ABO的大小；
（2）△OMB與△AEB相似嗎？為什么？
（3）判斷△OBD與△OAE的面積是否相等？并說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,圓周角定理

專題：

分析：（1）證明∠AOB=120°，∠BAO=∠ABO，即可解決問題．
（2）證明∠BOM=∠BAE；∠OMB=∠AEB=90°，即可解決問題．
（3）如圖，作輔助線；證明△AON∽△ADB，得到

OA

AB

=

ON

BD

；證明

OB

AB

=

OM

AE

；運用OA=OB，得到

ON

BD

=

OM

AE

，進而得到OM•BD=ON•AE，得到

1

2

OM•BD=

1

2

ON•AE，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=120°；而OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=

180°-120°

2

=30°，
即∠ABO=30°．
（2）相似；理由如下：
如圖，連接OC，則OB=OC；
∵OM⊥BC，
∴∠BOM=

1

2

∠BOC，而∠BAC=

1

2

∠BOC，
∴∠BOM=∠BAE；而BE⊥AC，
∴∠OMB=∠AEB=90°，
∴△OMB∽△AEB．
（3）相等；理由如下：
如圖，過點O作ON⊥AC于點N；
∵AO=CO，ON⊥AC，
∴∠AON=

1

2

∠AOC，而∠ABC=

1

2

∠AOC，
∴∠AON=∠ABC，而∠ONA=∠BNO，
∴△AON∽△ADB，
∴

OA

AB

=

ON

BD

；
同理可證：△OMB∽△AEB，
∴

OB

AB

=

OM

AE

；而OA=OB，
∴

ON

BD

=

OM

AE

，OM•BD=ON•AE，
∴

1

2

OM•BD=

1

2

ON•AE，
即△OBD與△OAE的面積相等．

點評：該題主要考查了圓周角定理、相似三角形的判定及其性質等幾何知識點及其應用問題；解題的關鍵是牢固掌握定理本質內容，這是靈活運用解題的基礎和關鍵．