Question

11．數(shù)學活動：求重疊部分的面積
（1）問題情境：如圖①，將頂角為120°的等腰三角形紙片（紙片足夠大）的頂點P與等邊△ABC的內(nèi)心O重合，已知OA=2，則圖中重疊部分△PAB的面積是$\sqrt{3}$．
（2）探究1：在（1）的條件下，將紙片繞P點旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置，紙片兩邊分別與AC，AB交于點E，F(xiàn)，求圖②中重疊部分的面積與圖①中重疊部分的面積是否相等，請給予證明：如果不相等，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點O是等邊三角形ABC的內(nèi)心可以得到∠OAB=∠OBA=30°，結(jié)合條件OA=2即可求出重疊部分的面積．
（2）由旋轉(zhuǎn)可得∠FOE=∠BOA，從而得到∠EOA=∠FOB，進而可以證到△EOA≌△FOB，因而重疊部分面積不變．

解答 解：（1）過點O作ON⊥AB，垂足為N，如圖①，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠CAB=∠CBA=60°，
∵點O為△ABC的內(nèi)心，
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠OBA=$\frac{1}{2}$∠CBA，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴OB=OA=2，
∵ON⊥AB，
∴AN=NB，PN=1，
∴AN=$\sqrt{3}$，
∴AB=2AN=2$\sqrt{3}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$B•PN=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$；

（2）圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積相等．
證明：連接AO、BO，如圖②，
由旋轉(zhuǎn)可得：∠EOF=∠AOB，則∠EOA=∠FOB．
在△EOA和△FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FBO=30°}\\{OA=OB}\\{∠EOA=∠FOB}\end{array}\right.$，
∴△EOA≌△FOB．
∴S_{四邊形AEOF}=S_△OAB．
∴圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積相等．

點評 本題屬于探究性試題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)心、三角形的內(nèi)角和定理、勾股定理等知識，有一定的綜合性．