Question

1．如圖，已知△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，且D、E、C三點(diǎn)在一直線上．若AD=AE=1，DE=2EC，則BC=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 連接BD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到DE=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$，求得CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，通過△ADB≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∠AEC=∠ADB，求得∠BDC=90°，由勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：連接BD，
∵△ADE為等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$，
∵DE=2EC，
∴CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠DAB=90°-∠BAE，∠CAE=90°-∠BAE，
∴∠DAB=∠CAE，
在△ADB與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAB=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△ACE，
∴BD=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∠AEC=∠ADB，
∵∠AEC=135°，
∴∠ADB=135°，
∴∠BDC=90°，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．