Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C為弧AB的中點，∠ABC的角平分線交⊙O于點D，交AC于點F，AD、BC的延長線交于點E，DG⊥BE于點G．
（1）求證：AE=BF；
（2）判斷DG與⊙O的位置關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明；
（3）若BD•FD=2（2-

2

），求⊙O的面積．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）證明：根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得∠ACB=90°，再由點C為弧AB的中點得CA=CB，然后根據(jù)“AAS”證明△AEC≌△BFC，于是得到AE=BF；
（2）連接OD，如圖，先得到DG∥AC，再由DB平分∠ABC得到∠1=∠2，則弧AD=弧CD，根據(jù)垂徑定理得到OD⊥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得OD⊥DG，然后根據(jù)切線的判定定理得DG為⊙O的切線；
（3）由AB是⊙O的直徑得∠ADB=90°，即BD⊥AE，加上∠1=∠2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=DE，即AE=2AD，而AE=BF，所以BF=2AD，再證明Rt△DAF∽Rt△DBA，利用相似比得到AD²=BD•DF=2（2-

2

），則AD²=BD•（BD-BF）=BD•（BD-2AD），整理得BD²-2AD•BD-AD²=0，解關(guān)于BD的方程得到BD=（1+

2

）AD，則BD²=（1+

2

）²•AD²=4+2

2

，然后在Rt△ADB中，根據(jù)勾股定理可計算出AB²=BD²+AD²=8，最后根據(jù)圓的面積公式求解．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵點C為弧AB的中點，
∴CA=CB，
在△AEC和△BFC中，

∠ACE=∠BCF ∠3=∠2 AC=BC

，
∴△AEC≌△BFC，
∴AE=BF；
（2）解：DG與⊙O相切．理由如下：
連接OD，如圖，
∵DG⊥BE，
∴DG∥AC，
∵DB平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴弧AD=弧CD，
∴OD⊥AC，
∴OD⊥DG，
∴DG為⊙O的切線；
（3）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AE，
而∠1=∠2，
∴AD=DE，即AE=2AD，
∵AE=BF，
∴BF=2AD，
∵∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴Rt△DAF∽Rt△DBA，
∴

AD

BD

=

DF

AD

，即AD²=BD•DF=2（2-

2

），
∴AD²=BD•（BD-BF）=BD•（BD-2AD），
整理得BD²-2AD•BD-AD²=0，解得BD=（1+

2

）AD或BD=（1-

2

）（舍去），
∴BD²=（1+

2

）²•AD²=（1+

2

）²•2（2-

2

）=（1+

2

）²•2

2

（

2

-1）=4+2

2

，
在Rt△ADB中，AB²=BD²+AD²=4+2

2

+4-2

2

=8，
∴⊙O的面積=π•（

AB

2

）²=

1

4

•π•8=2π．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和切線的判定定理；會利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形全等的知識證明線段相等；會運用相似比和勾股定理解決線段的關(guān)系．