Question

3．如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AC⊥BD，AB=$\sqrt{3}$cm，AD：BC=1：3，則S_梯形ABCD=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作輔助線構(gòu)建平行四邊形和直角三角形，證明四邊形ABFD是矩形和四邊形ACED是平行四邊形，根據(jù)AD：BC=1：3，設(shè)AD=x，BC=3x，得出BF=x，EF=3x，利用直角三角形斜邊上的高分成的兩個直角三角形相似得比例式（即射影定理），可以求出x的值，利用面積公式求S_梯形ABCD=2$\sqrt{3}$．

解答 解：過D作DE∥AC，交BC的延長線于E，過D作DF⊥BC于F，
則∠DAB=∠ABF=∠BFD=90°，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴DF=AB=$\sqrt{3}$，AD=BF，
設(shè)AD=x，BC=3x，
∵AD∥CE，AC∥DE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴CE=AD=x，
∴EF=BE-BF=4x-x=3x，
∵AC⊥BD，
∴BD⊥DE，
∴∠BDE=90°，
∴DF²=BF•EF，
∴$（\sqrt{3}）^{2}$=x•3x，
x=±1，
∵x＞0，
∴x=1，
∴AD=1，BC=3，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AB=$\frac{1}{2}$（1+3）×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了直角梯形的性質(zhì)，在梯形的問題中，常作輔助線解決問題；常作的輔助線方法有：①作對角線的平行線，構(gòu)建平行四邊形，②作腰的平行線，構(gòu)建平行四邊形，③延長兩腰，④作梯形的高線等；本題利用了兩底的比設(shè)未知數(shù)，根據(jù)比例式列等量關(guān)系式，求出兩底邊，使問題得以解決．