Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)O(0，0)，點(diǎn)A(5，0)，點(diǎn)B(0，3)．以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC，得到矩形ADEF，點(diǎn)O，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F．

(Ⅰ)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(Ⅱ)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BE上時(shí)， AD與BC交于點(diǎn)H．

①求證△ADB≌△AOB；

②求點(diǎn)H的坐標(biāo)．

(Ⅲ)記K為矩形AOBC對(duì)角線的交點(diǎn)，S為△KDE的面積，求S的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可)．

Answer 1

【答案】（I）D(1，3)；（II）①詳見解析；②H(，3)；（III）

【解析】

(Ⅰ)在Rt△ACD中求出CD即可解決問題；

(Ⅱ)①根據(jù)HL證明即可；

②首先證明BH=AH，設(shè)AH=BH=m，則HC=BC﹣BH=5﹣m，在Rt△AHC中，根據(jù)AH2=HC2+AC2，構(gòu)建方程求出m即可解決問題；

(Ⅲ)如圖③中，當(dāng)點(diǎn)D在線段BK上時(shí)，△DEK的面積最小，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，△D′E′K的面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題；

(Ⅰ)如圖①中，

∵A(5，0)，B(0，3)，

∴OA=5，OB=3，

∵四邊形AOBC是矩形，

∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，

∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到，

∴AD=AO=5，

在Rt△ADC中，CD=，

∴BD=BC﹣CD=1，

∴D(1，3)；

(Ⅱ)①如圖②中，連結(jié)AB，

由四邊形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，

∵點(diǎn)D在線段BE上，

∴∠ADB=90°，

∵AD=AO，AB=AB，∠AOB=90°，

∴Rt△ADB≌Rt△AOB(HL)；

②如圖②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，

在矩形AOBC中，OA∥BC，

∴∠CBA=∠OAB，

∴∠BAD=∠CBA，

∴BH=AH，

設(shè)AH=BH=m，則HC=BC﹣BH=5m，

在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，

∴m2=32+(5m)2，

∴m=，即BH=，

∴H(，3)；

(Ⅲ)如圖③中，當(dāng)點(diǎn)D在線段BK上時(shí)，△DEK的面積最小，

最小值=DEDK=×3×(5)=，

當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，△D′E′K的面積最大，

最大面積=D′E′KD′=×3×(5+)=．

綜上所述，．