Question

如圖，BD=AC，M、N分別為AD、BC的中點，AC、BD交于E，MN與BD、AC分別交于點F、G，求證：EF=EG．

Answer 1

考點：三角形中位線定理

專題：證明題

分析：取CD的中點H，連接MH、NH，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得MH∥AC，MH=

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AC，NH∥BD，NH=

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BD，然后求出MH=NH，∠MNH=∠EGF，∠NMH=∠EFG，根據(jù)等邊對等角可得∠MNH=∠NMH，從而得到∠EFG=∠FGE，再根據(jù)等角對等邊可得EF=FG．

解答：證明：如圖，取CD的中點H，連接MH、NH，
∵M、N分別為AD、BC的中點，
∴MH、NH分別是△ACD和△BCD的中位線，
∴MH∥AC，MH=

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AC，NH∥BD，NH=

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BD，
∴∠MNH=∠EGF，∠NMH=∠EFG，
又∵BD=AC，
∴MH=NH，
∴∠MNH=∠NMH，
∴∠EFG=∠FGE，
∴EF=EG．

點評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等邊對等角的性質(zhì)，熟記定理和性質(zhì)是解題的關鍵，難點在于作輔助線構造出三角形的中位線．