Question

15．在平面直角系中，已知A（-2，0），B（0，4），C（3，6）；
（1）當(dāng)D（6，0）時，求四邊形ABCD的面積；
（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使△PBC的周長最小，并求出此時△PBC的周長．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥x軸于點(diǎn)E，則CE=6，四邊形BCEO是直角梯形，根據(jù)S_{四邊形ABCD}=S_△OAB+S_{四邊形BCEO}+S_△CDE即可求解；
（2）求得BC的長，作出C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)，則BC′與BC的和就是△PBC的周長．

解答 解：（1）作CE⊥x軸于點(diǎn)E，則CE=6，四邊形BCEO是直角梯形．
則S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×2×4=4；
S_{四邊形BCEO}=$\frac{1}{2}$（OB+CE）•OE=$\frac{1}{2}$×（4+6）×3=15；
S_△CDE=$\frac{1}{2}$ED•CE=$\frac{1}{2}$×6×3=9，
則S_{四邊形ABCD}=4+15+9=28；
（2）BC=$\sqrt{{3}^{2}+（6-4）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（3，-6），
則BC′=$\sqrt{{3}^{2}+（6+4）^{2}}$=$\sqrt{109}$，
則△PBC的周長是：$\sqrt{13}$+$\sqrt{109}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角形三邊和最短線路問題，基本思路是根據(jù)對稱性轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短問題．