Question

2．如圖，△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得△CDE，A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C，點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D，其中A、C、D三點(diǎn)共線，B、C、E三點(diǎn)共線．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）求∠B的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAC=∠DCE，加上∠DCE=∠ACB，所以∠BAC=∠ACB，于是根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）連結(jié)OA、OC、OE，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OA=OC，OC=OE，∠AOC=∠COE=45°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠OCA=67.5°，∠OCE=67.5°，則∠ACE=135°，利用鄰補(bǔ)角得到∠BCA=45°，則可判斷△ABC為等腰直角三角形，所以∠B=90°．

解答 （1）證明：∵△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得△CDE，A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C，點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D，
∴∠BAC=∠DCE，
∵A、C、D三點(diǎn)共線，B、C、E三點(diǎn)共線，
∴∠DCE=∠ACB，
∴∠BAC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：連結(jié)OA、OC、OE，如圖，
∵△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得△CDE，
∴OA=OC，OC=OE，∠AOC=∠COE=45°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
同理可得∠OCE=67.5°，
∴∠ACE=2×67.5°=135°，
∴∠BCA=45°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠B=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的判定．