Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線分別交軸、軸于點點；點在直線的右側，且．

（1）若為直角三角形，求點的坐標；

（2）如圖2，若點在第四象限，且，與軸交于點，與軸交于點，連接，求證：是兩個外角平分線的交點．

Answer 1

【答案】（1）P（4，2）或（2，﹣2）；（2）證明見解析．

【解析】

（1）分兩種情況，利用等腰三角形的性質，及全等三角形的性質求出PC，BC，即可得出結論；

（2）過點P作PC⊥x軸于C，PD⊥y軸于D，PE⊥MN于E.證明PC=PD=PE即可.

（1）A(﹣2，0)，B(0，4)，

∴OA=2，OB=4.

∵△ABP是直角三角形，且∠APB=45°，

∴只有∠ABP=90°或∠BAP=90°，

如圖2.

①當∠ABP=90°時.

∵∠APB=∠BAP=45°，

∴AB=PB，

過點P作PC⊥OB于C，

∴∠BPC+∠CBP=90°.

∵∠CBP+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠BPC，

在△AOB和△BCP中，

∵，

∴△AOB≌△BCP(AAS)，

∴PC=OB=4，BC=OA=2，

∴OC=OB﹣BC=2，

∴P(4，2)，

②當∠BAP'=90°時，過點P'作P'D⊥OA于D.

同①的方法得：△ADP'≌△BOA，

∴DP'=OA=2，AD=OB=4，

∴OD=AD﹣OA=2，

∴P'(2，﹣2)；

綜上所述：滿足條件的點P(4，2)或(2，﹣2)；

（2）過點P作PC⊥x軸于C，PD⊥y軸于D，PE⊥MN于E.如圖3，由（1）知點P(2，﹣2).

∵A(﹣2，0)，

∴直線AP的解析式為yx﹣1，

∴M(0，﹣1)，

∴BM=5，

同理：直線BP的解析式為y=﹣3x+4，

∴N(，0).

易求直線MN的解析式為.

∵直線PE⊥直線MN，

∴直線PE的解析式為，即.

解方程組，得：，

∴E(，)，

∴PE==2.

∵P(2，﹣2)，

∴PC=PD=2.

∵PD=PE，

∴P在∠DMN的平分線上.

∵PE=PC，

∴P在∠MNC的平分線上，

∴P是△OMN兩個外角平分線的交點.