Question

已知二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為C（1，0），直線y=x+m與該二次函數(shù)交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)（3，4），B點(diǎn)在y軸上．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）P為線段AB上一動點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線與二次函數(shù)交于點(diǎn)E．設(shè)線段PE長為h，點(diǎn)P橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）D為線段AB與二次函數(shù)對稱軸的交點(diǎn)，在AB上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形DCEP為平行四邊形？若存在，請求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先將A（3，4）代入y=x+m得出m的值，即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）表示出E，P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用線段PE求法得出即可；
（3）首先得出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)得出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可得出答案．

解答：解：（1）把A（3，4）代入y=x+m
得m=1，
∴y=x+1，
∴B（0，1），
設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，
把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入得

9a+3b+c=4 c=1 a+b+c=0

，
解得

a=1 b=-2 c=1

，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x+1；

（2）∵P點(diǎn)在直線y=x+1的圖象上
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+1），
∵E點(diǎn)在拋物線y=x²-2x+1的圖象上，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²-2x+1），
∴h=（x+1）-（x²-2x+1）=-x²+3x；

（3）存在，
∵拋物線對稱軸為直線x=-

b

2a

=1，
∴當(dāng)x=1時，y=x+1=2，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
則DC=2，
當(dāng)PE=2時，PE∥DC，四邊形DCEP為平行四邊形，
即-x²+3x=2，
解得：x₁=1，x₂=2，
當(dāng)x=1時，PE與DC重合，
當(dāng)x=2時，代入y=x+1，解得：y=3，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合以及平行四邊形的性質(zhì)和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出表示出PE的長是解題關(guān)鍵．