Question

【題目】如圖，直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，且OA，OB的長(OA > OB)是方程x2-10x +24=0的兩個(gè)根，P(m，n)是第一象限內(nèi)直線y=kx+b上的一個(gè)動點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合).

（1）求直線AB的解析式；

（2）C是x軸上一點(diǎn)，且OC=2，求△ACP的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以A，B，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y= ；（2）當(dāng)C點(diǎn)在x正半軸時(shí)，；當(dāng)C點(diǎn)在x負(fù)半軸時(shí)， ；（3）存在. Q1(6- ,0)，Q2(6+ ,0)，Q3（-6，0），Q4（，0）.

【解析】

（1）用待定系數(shù)法求直線表達(dá)式即可；（2）根據(jù)題意得出AC=4或8，根據(jù)面積公式計(jì)算；（3）根據(jù)等腰三角形的判斷，分別以滿足AQ=AB=，BQ=AB=,QA=QB三種情況進(jìn)行討論計(jì)算，從而求Q點(diǎn)坐標(biāo).

解:(1) ∵x2-10x+24=0，

(x -4)(x-6)=0，

∴x1 =4，x2 =6.

∵OA，OB的長是方程的兩個(gè)根，且OA > OB，

∴OA =6，OB =4.

∴A(6，0)，B(0，4).

把點(diǎn)A(6，0)，B(0，4)代人y=kx +b中， ，解得

∴直線AB的解析式為 .

(2) ∵直線AB的解析式為，點(diǎn)P(m，n)在直線AB上，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為,

當(dāng)點(diǎn)C在x軸正半軸上時(shí)，0C=2，AC=4，

= ;

當(dāng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上時(shí)，OC=2，AC=8，

= .

(3)存在.Q1(-6，0)，Q2(6- 2，0)，Q3，Q4(6+2，0).理由如下：

∵A(6，0)，B(0，4)，∴AB= .當(dāng)△ABQ為等腰三角形，分三種情況：

①如圖，當(dāng)AQ=AB=時(shí)

Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q1(6- ,0)或Q2(6+ ,0)；

②如圖，當(dāng)BQ=BA=時(shí)

OA=OQ3=6，Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q3（-6，0）；

③如圖，當(dāng)QA=QB時(shí)

設(shè)OQ4=t,則Q4A=Q4B=6-t,根據(jù)勾股定理得

42+t2=(6-t)2,

解得，t=

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q4（，0）.

綜上所述，符合題中條件的Q點(diǎn)有4個(gè)，坐標(biāo)分別為Q1(6- ,0)，Q2(6+ ,0)，Q3（-6，0），Q4（，0）.