Question

【題目】如圖，是的直徑，切于點，點是上的一個動點（點不與，兩點重合），連接，過點作交于點，過點作于點，交的延長線于點，連接，，．

（1）求證：直線為的切線；

（2）若直徑的長為4．

①當________時，四邊形為正方形；

②當________時，四邊形為菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①2；②．

【解析】

（1）證，得出∠OPQ=∠OBQ=90°得證；

（2）①根據(jù)四邊形OBQP是正方形，可得點E與點O重合，故而求得EP的長；

②利用菱形的性質，對角線垂直且相互平分，可在Rt△CPO中求得CP的長，進而得出EP的長．

（1）證明：∵切于點，

∴，

∴，

∵，

∴，，

而，

∴，

∴，

在和中

，

∴．

∴．

∴直線為切線；

（2）①如下圖所示

∵四邊形OBQP是正方形

∴OP⊥AB

∴點O與點E重合

∴EP=OP

∵直徑AB=4

∴OP=EP=2

②如下圖

∵四邊形AEOP是菱形

∴AO⊥EP，且AC=CO，EC=CP

∵直徑AB=4

∴OP=2，CO=1

∴在Rt△PCO中，CP=

∴EP=．