2.如圖,直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,拋物線y=a(x-2)2+k經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B.
(1)寫(xiě)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P,使△ABP的周長(zhǎng)最短.試求點(diǎn)P的坐標(biāo)和該最短周長(zhǎng).

分析 (1)根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)把A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入根據(jù)待定系數(shù)法求出a的值即可.
(3)先求得P的位置,然后求得直線BC的解析式,把x=2代入求得的解析式即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo).

解答 解:(1)當(dāng)y=0時(shí),-3x+3=0,解得x=1,則A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0);
當(dāng)x=0時(shí),y=-3x+3=3,則B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3);
(2)∵拋物線過(guò)A(1,0)、B(0,3),
∴$\left\{\begin{array}{l}{a(1-2)^{2}+k=0}\\{a(0-2)^{2}+k=3}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=-1}\end{array}\right.$,
∴拋物線解析式為y=(x-2)2-1.
(3)連接BC,交對(duì)稱(chēng)軸于P,此時(shí)PA+PB的值最小,即△ABP的周長(zhǎng)最短,最短周長(zhǎng)=AB+BC,
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),對(duì)稱(chēng)軸為x=2,
∴C(3,0),
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,
∵B(0,3),C(3,0),
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$,
∴直線BC的解析式為y=-x+3,
令x=2,則y=-2+3=1,
∴P(2,1),
∵A(1,0),B(0,3),C(3,0);
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$,BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$,
∴最短周長(zhǎng)為$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題,根據(jù)題意確定P的位置是解題的關(guān)鍵.

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