Question

在△ABC中，D為BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E，F，且BE=CF．
（1）求證：DE=DF；
（2）當∠A=90°時，求證：四邊行AFDE為正方形．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,正方形的判定

專題：證明題

分析：（1）利用HL證得Rt△BED≌Rt△CFD，則由“全等三角形的對應邊相等”證得結論；
（2）根據有三個角是直角的四邊形是矩形證得四邊形AFED是矩形，然后根據有一組鄰邊相等的矩形是正方形即可證得結論；

解答：（1）證明：如圖，∵D為BC的中點，
∴BD=CD．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED與Rt△CFD中，

BE=CF BD=CD

，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF；

（2）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠A=90°，
∴四邊形AFDE是矩形，
∵DE=DF，
∴矩形AFDE是正方形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質、正方形的判定，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件，正方形是特殊的矩形；