Question

如圖，有兩塊量角器完全重合在一起（量角器的直徑AB=4，圓心為O），保持下面一塊不動(dòng)，上面的一塊沿AB所在的直線向右平移，當(dāng)圓心與點(diǎn)B重合時(shí)，量角器停止平移，此時(shí)半⊙O與半⊙B交于點(diǎn)P，連接AP．

（1）AP與半⊙B有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）在半⊙O的量角器上，A、B點(diǎn)的讀數(shù)分別為180°、0°時(shí)，問點(diǎn)P在這塊量角器上的讀數(shù)是多少？
（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,圓周角定理,扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）連接PB．根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求得∠APB=90°，進(jìn)而證得AP切半⊙B于點(diǎn)P；
（2）連接OP．則有△OPB為正三角形，從而求得點(diǎn)P在這塊量角器上的讀數(shù)是60°；
（3）根據(jù)S_陰影=S_扇形PBC-（S_扇形POB-S_正△POB），即可求得；

解答：解：（1）AP與半⊙B相切；
理由如下：
連接PB．
∵AB為半⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，
即AP切半⊙B于點(diǎn)P．
（2）連接OP．則△OPB為正三角形，
則∠POB=60°．
即點(diǎn)P在這塊量角器上的讀數(shù)為60°．
（3）∵S_陰影=S_扇形PBC-（S_扇形POB-S_正△POB），
又∵∠POB=60°，∠PBO=60°，
∴∠PBC=120°，而正△POB的邊長(zhǎng)為2．
即S陰影=

120•π•22

360

-(

60•π•22

360

-

3

4

×22)=

4π

3

-

2π

3

+

3

=

2π

3

+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，圓周角的定理，扇形面積的計(jì)算，正三角形面積的計(jì)算，圓周角定理和切線的判定定理是本題的關(guān)鍵；