Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線在第一象限的點(diǎn)．

（1）當(dāng)△ABD的面積為4時，

①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②聯(lián)結(jié)OD，點(diǎn)M是拋物線上的點(diǎn)，且∠MDO＝∠BOD，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）直線BD、AD分別與y軸交于點(diǎn)E、F，那么OE+OF的值是否變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）不變化，值為8，理由見解析

【解析】

（1）先將已知點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式求出a，再根據(jù)△ABD的面積，求出D的縱坐標(biāo)，將其代入拋物線求出D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)∠MDO=∠BOD分兩種情況討論，并求出M坐標(biāo)

（2）設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用平行線分線段成比例定理表示出OE、OF求和即可得出結(jié)論

（1）∵拋物線y＝ax2+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（2，0），

∴A（﹣2，0），4a+4＝0，

∴a＝﹣1，AB＝4，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4，

①設(shè)D（m，﹣m2+4），

∵△ABD的面積為4，

∴

∴，

∵點(diǎn)D在第一象限，

∴，

∴，

②如圖1，點(diǎn)M在OD上方時，

∵∠MDO＝∠BOD，∴DM∥AB，

∴，當(dāng)M在OD下方時，

設(shè)DM交x軸于G，設(shè)G（n，0），

∴OG＝n，

∵，

∴，

∵∠MDO＝∠BOD，

∴OG＝DG，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴直線DG的解析式為①，

∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+4②，

聯(lián)立①②得， ，此時交點(diǎn)剛好是D點(diǎn)，

所以在OD下方不存在點(diǎn)M．

（2）OE+OF的值不發(fā)生變化，

理由：如圖2，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，

∴OF∥DH，

∴，

設(shè)D（b，﹣b2+4），

∴AH＝b+2，DH＝﹣b2+4，

∵OA＝2，

∴，

∴，

同理：OE＝2（2+b），

∴OE+OF＝2（2﹣b）+2（2+b）＝8．